Какая конструктивная особенность велосипеда позволяет ездить на
нем не держась за руль?

Это конструктивная особенность головного мозга - "вестибулярный аппарат", называется. А вообще - рулевая колонка должна свободно вращаться при наклоне велоспипеда, без заеданий. Этим и обеспечивается "подруливание".

вроде чем ближе будет угол рулевой к 90 градусам, тем сложнее такое будет проделывать.

Собсно наклон рулевой трубы + вылет колеса. Получаем систему с динамической устойчивостью. При закливании рулевой велосипед будет падать.
P.S. Гироскопический момент тоже присутствует и поварачивает колесо при наклоне туда же куда и надо, но как принято считать, что он слишком мал, для скоростей велосипеда (хотя при раскручивании поднятого переднего колеса и наклона велосипеда в сторону он ощущается).

Ну да - тогда рулевое колесо легче отклоняется. Еще чем оно тяжелее, тем легче это проделывать. На Украине я мог ехать не держась за руль сколько угодно, даже поворачилал спокойно. А как на спортивный велосипед пересел, так что-то разучился. Может и к лучшему.

Правильный ответ: Конечно же наклон рулевой трубы.

Правильный ответ: наклон рулевой трубы и вылет.

Где-то встречал забавный видео-фрагмент, как шосер на победном финише как обычно протянул руки к небу... НО. В результате он упал и приехал едва ли вторым. Если честно я поржал

Скользкая от дождя дорога - сорвало переднее колесо.
Он стал вторым.
Обидный проигрыш.

Интересно, а как часто финишируют без подобного выплеска эмоций? Наверняка ведь есть "спокойные" гонцы.

я однажды видел передачку по телеку (киги я не читаю если чо) так вот там взяли вел и перевернули у него вилку задом наперед (вынос переднего колеса стал отрицательный отностительно осевой линии рулевой колонки
потом на багажник ему приделали палку поперечную довольно длинную метр полтора, и толкнули эту конструкцию, дык она проехала самостоятельно держа равновесие какое то сумасшедшее количество метро (250 столи не помню)
а пи выносе вилки нормальном конструкция вылилась довольно скоро набок, о как!
так что вынос вилки скорее отрицательный момент нежели положительный похоже как

Так имхо главное наличие наклона, а в какую сторону он - уже детали.

Пардон, а где вы видели рулевые стаканы без наклона?

на трековых велах для гонки за лидером..

подкрепите пожалуйста данную информацию фотографией или хотя бы иллюстрацией. непонимаю как такое возможно.